関手性という言葉がよく出てくる。たとえば、ドラームコホモロジーで。 すでに分かっている系列から、新しい系列を作れる。 関手は圏論の概念だと思っていて、ホモロジー代数やら圏論やらの本をちらちらと眺めるうちに、なんとなく、すごく面白そうな気がし…

基本定理に尽きる、というのが本質で良いんだろうけど、それをどれだけ理解できるだろう。 基本定理もいくつか中身があって大小関係がうんぬんとかあるけれど、 たぶん一番大事なのがガロア群の部分群と中間体の間に一対一対応があること。 部分群の数だけ異…

第６章、座標とベクトル。 座標とベクトルの概念の導入。 第７章、公理系とモデル。 公理系の独立性・無矛盾性・範疇性を確かめるためのモデルの概念の導入。 有限射影平面、ユークリッド平面、非ユークリッド幾何学における具体的なモデルを考える。 そこか…

数と幾何学。 線分の長さ、角度の大きさに対して数値を与える。 合同変換と相似変換、円周の長さについて。 線分の長さを与えるために、ものさしの代わりとなる目盛関数を導入、そこからユークリッド距離の定義。 線分の比を考えて、そこから相似の概念を導…

自然数から実数へ。 自然数、整数、有理数、実数の形式的な構成について。 ペアノの公理から自然数を導入して、その間の関係から整数、有理数、実数へと順に構成していく。 デデキントの切断によって、有理数から実数を構成している。 最後に自然数の１０進…

多様体って何なのといえば、一般の曲面と言えばいいのかな。 数直線や定規には目盛りが入っている。 平面にも座標を考えられるっていうのは、中学生くらいに初めてやるんだったかな。 その座標を、曲がった空間＝曲面に書いてみましょう、そしてその曲がった…

集合、写像、関係。 数学の言葉となる、集合や写像などについて。 集合と写像、それに付随するいくつかの概念に定義を与えて、集合の大きさについて述べる。 最後に関係、同値関係と順序関係について、定義といくつかの性質。 結構慣れてる部分だから大体す…

幾何学の公理系。 直線・平面・空間における公理と、そこから導かれるいくつかの性質について。 また、幾何学の歴史についてほんの少々。 点と直線と平面については定義せずに、その関係から他の幾何学的対象、角や三角形などを定義して、そこに必要な公理を…

古典幾何学。 平行線の公理を仮定しないで幾何学で何ができるか、仮定するとどうなるか、平行線の公理の証明への取り組みから非ユークリッド幾何にたどり着きそうになったサッケリ。 平行線の公理を仮定しない幾何学が絶対幾何学、仮定する幾何学がユークリ…

他に何かをあたったわけでなく、上の本を読んだだけの知識で、さらにとてもおおざっぱに書くので、怪しいところがいくつもあると思うけれど、書きます。 ポアンカレ予想とは とても長いロープを取り出して、片方を地上のどこかに結びつける。 そしてもう片方…

結局元日からの三日間どこにも行かず勉強するわけでもなく、食っちゃ寝食っちゃ寝していたわけですが、まぁそれはいつものことだからおいといて。 ・・・捨て置いていいことじゃないけれど。 最近新しくやりたいと思ったことって何だろうなぁと考えてみた。 …

２＝１，：２： ３＝１，：１，２： ５＝２，：４： ６＝２，：２，４： ７＝２，：１，１，１，４： ８＝２，：１，４： １０＝３，：６： １１＝３，：３，６： １２＝３，：２，６： １３＝３．：１．１．１．１．６： １４＝３，：１，２，１，６： １５…

前回の有理数を全て有限連分数で表わせるということに引き続いて、今回はその実数への拡張。 ・無理数ωはただ１通りに無限連分数に展開することができる。 ほんとは近似の評価式とか近似式同士の不等式、関係式もあるのだけれど、ここだけ。 結局、全ての実…

正整数p,qにユークリッドの互除法を適用して、 得られた商の列がb_1,b_2,...,b_mであったとき p/q = [b_1,b_2,...,b_m] 別にp,qが負でもいい気がする。 結局有理数全ては（有限）連分数表示できる、という認識でいいんでしょう、たぶん。 なんとなく、全てを…

一応計算してみました、数学Ａだけ分かればこの計算はできるんじゃないかなぁ。 期待値は一行目のように表され、それをひたすら計算していきます。

最初TeX記法でやろうと思ってたんですが、うまくいかず、結局ワードで書いてイメージを取りました。 ｎ回敵を倒した時にｋ個のアイテムを手に入れられる確率の置き方が一番心配です。 ここで間違ってたらもうすべて終わりです、僕はただの馬鹿です。 大学の…

pranさんのとこのエントリ*1を見て計算したくなってなんとかなったので書いてみます。 ※注意 正直受験数学はかなり苦手で数学Ａとかもうパッパラパーみたいにできなかったので、以下の記述には誤りが含まれる可能性が多々あります。 1/16の確率でアイテムを…

二つの多様体上のある局所座標でのある点における速度ベクトル同士の間の関数の表現行列として定義されてたけど、他の定義の仕方はないのだろうか。

３次元のトーラスを考えるところから４次元が見えそうな気がする。

集合ＭとＮの間に全単射が存在する時、ＭとＮはequipotentである、または、同じ濃度をもつ、と言う。 equipotentを日本語にするとしたら何て言うんだろう。

・１は自然数である・全ての自然数ａは自然数の集合の中で後続する数ａ^+をもつ・１を後続する数とする自然数はない・もしａ^+=ｂ^+ならばａ=ｂ・自然数１を含み、含まれる全ての自然数ａについて後続する数ａ^+をも含む自然数の集合は全ての自然数を含む

集合内に定められた距離関数で、 正値性、対称性、三角不等式をみたすもの。 集合をＸとし距離関数をｄとすれば、 （Ｘ，ｄ）は距離空間を表す。

実係数の代数方程式だと、全部含まれてしまって面白くないんやね、残念。 発想が乏しい。 ただ、代数的数が係数の代数方程式の解は、さてどうなるのだろう。 超越数は・・・含まない、のかな？

群 ・演算の定義 ・結合法則 ・逆元の存在 ・単位元の存在 アーベル群（可換群）（加群） ・群 ・交換法則

テンションあがります。

複素数体はＲ^2で積の演算を少し変更して定めることで得られた。 なら、積あるいは和の演算を変えれば、新しい体を作ることも可能なんじゃないだろうか。 先生（教授だか准教授だかわかんね(´・ω・｀)）はそう簡単には出来ないと言っていたけど、ちょっとく…

安定結婚問題でマッチングを写像として考えたり、各成分が０または１の行列で表される関数として考えたら面白そうじゃね？ 講義聞きながらずっと考えてたのに、結局話題にならなかったし。 b-interchangeとか、最後に回さなくても、むしろG-Sアルゴリズムよ…

単射・全射・全単射 injection・surjection・bijection 入射・上射・双射 どれも同じはずなのに、表現が違う。 ある程度確立された分野なら、単語は英語で覚えるのが一番か。 そもそも日本語は一つの事柄を表わす表現が多すぎる。 それが日本語の一つの良い…

整係数の代数方程式の解を代数的数と呼ぶそうだけれど、実係数や複素係数の時はどうなるのだろうか。 まずなにより先に解くことが出来るかどうかの問題があるのかもしれないけれど、解くことが出来れば解が超越数だったり・・・ まぁ、この程度のことならと…

集合論で、なぜ差集合と補集合があるのか。 ある本では補集合を使うのに、またある本では補集合を使わず、補集合との和集合を差集合として定義している。 どちらかに統一した方が良い気もするけれど、それは未熟さゆえであって、実はそのどちらもがある定理…