多様体

多様体って何なのといえば、一般の曲面と言えばいいのかな。
数直線や定規には目盛りが入っている。
平面にも座標を考えられるっていうのは、中学生くらいに初めてやるんだったかな。
その座標を、曲がった空間＝曲面に書いてみましょう、そしてその曲がった空間の性質を調べましょう、というのが多様体でやりたいこと、だろうか。
もちろん扱う曲がった空間は、２次元や３次元に限らない。

空間の性質を調べるにも、そもそも大域的なものと局所的なものが考えられる。

大域的なものの代表的なものは、穴があるとかないとかの話になるだろうか。
よくドーナツが例に挙げられてる気がするけれど、穴のあいたドーナツと穴のあいてないドーナツ（両者の表面）は穴の有無で区別できますよね、みたいな。
穴の有無で区別するのは位相幾何、トポロジーと呼ばれる幾何学の範疇で、多様体の話とは無関係じゃないけど目的が違う、と思ってる。

局所的なものの代表的なものは、ある点がその近くの点と違う性質を持ってる、とかかな。
点の性質と言えば、イメージしやすいのは鞍点だろうか。
馬の鞍のように、ある方向で見ると谷の底になっていて、違う方向から見ると山の頂上になっているようなところ。
あるいは、高校数学まで仮定すると、微分が０になる点、極大、極小となる点は、やっぱり他の点とは違う性質を持っている。

多様体を考えるときに基本的なのは、局所的な性質だと思う。
先に座標を書いてみる、と書いたけれど、たとえば球の表面を考えてみれば、ある一点からある方向にずっとまっすぐいくと元の点に戻ってきてしまう。
数直線や平面の場合に先まで行くと逆から戻ってくるようなことがなかったのだから、戻ってきてしまうと困る。
というわけで、小さい範囲で座標が書けるものを多様体と呼ぶ。
球の表面のある一点の近くだけ見れば、座標を書いても上と下、左と右はつながらない。
この小さい範囲だけで座標を考えているので、局所的な性質は調べやすいけれど、大域的な性質は分からない。

どうも、大域的な性質を調べる方法もあるみたいだけれど、まだよくわからない。
球面定理という、強い結果も、まだちゃんと理解できてないと思う。

多様体に対して今持っているイメージ。
一応半期の入門の講義は受けたものの、まだ始めたばかりだから、正確でないところがいくつもあると思う。