11-10-24

PDEと整数論、フィルターの講義。
PDEは、半群論を抽象論から始めているけれど、正直ルベーグ積分も関数解析もほぼ理解していないから辛い。でも感触だけでも知っておきたいなって。
今日は生成作用素が閉であること、その定義域が稠密であること、生成作用素とC_0半群が一対一に対応すること、それとレゾルベントのお話。証明の流れを説明しながら証明してくれるのに、途中計算を追うだけで精一杯で、関数解析的な同値性を使われたりすると突然分からなくなったりする。
整数論は、前回までの二回で簡単に楕円関数、楕円曲線をやって、今回からモジュラー形式。
モジュラー形式の定義と、アイゼンシュタイン級数、それとワイエルシュトラスのペー関数の係数がモジュラー形式になっていることの説明。
わりと四則演算程度の計算が主だから、証明を追うのはしんどくない。オイラー積展開すげー。
整数論に関しては、ある程度の内容をしっかり身につけておきたいのだけれど、厳しいかなぁ。
フィルターの講義は、前回までにフィルターの定義とネットの収束についてやっていて、あとフィルター収束とコンパクトの同値性とかをやってた。
今日は自然数上の極大フィルター全体の集合βNを定義して位相を入れて、βNがコンパクトハウスドルフ空間で、Nが稠密な開集合で相対位相で疎になることをやった。
稠密っていわれると、点列で近似できるような気がしていたのだけれど、それは第一可算公理があるからで、一般の位相空間上では成り立たないらしい。っていうか閉方が開集合になるとか信じられない、けど、実際起こってる。
位相空間論はいろいろと抜け落ちまくっているから、この講義がいろんな用語の復習になっていて良い感じ。

ゼミの内容は、準素分解の章を雀の涙程予習したくらいで、エクササイズは考えてるけど分からない。
何をして良いのかも分からない。
複素数体上二変数の一次式と既約二次式で生成されるイデアルのラジカルの元は二乗したら元のイデアルに入っているらしい。
ラジカルに入ってることの同値条件として、もう一つ生成元を加えた三変数多項式環のイデアルが全体に一致するというのがあって、これを使えばできるのかなと思ってるけど、一次と二次という条件をどこに活かせば良いのか分からない。