今やっていること

代数幾何の入門書を読んでいる。
代数幾何が何かというのは説明できないのだけれど、今の自分が持っているイメージは、高校数学の数学１や２でやった曲線の方程式とか、そのグラフとかの話の延長線上にあるもの、と言う感じ。交点の数とかね。
曲線は方程式で定義されるけれど、その定義方程式でいろんな多項式を割った余り全体を考えた時に、その余りたちが特定の構造を持っていて、その構造がもとの曲線の性質を反映したものになっている。
その辺りでどういう性質があらわれるのか、言葉の定義だったり、概念を新しく定めたりと、まだまだ土台作りという感じ。
数学的に言うなら、定義方程式によって生成されるイデアルによる多項式環の商を座標環と呼んで、これが特定の性質をもつことを、もとの曲線の性質の定義としている。
たとえば座標環から次数を下げたりした多項式環に単射があれば元の曲線をunirationalと定義して、係数体上の代数として同型があればrationalと定義したり、とかそんな感じ。
まだ定義とか簡単な性質とかを調べているだけで、あんまり面白いことをやっていない気がする。
一つ面白そうなのは、有限個の点からなる集合の座標環の次元が点の個数と一致するという話。
エクササイズなんだけれど、これほんとに正しいのか分からなくて、証明を考えてはみたものの、帰納法と射影による引き戻しでの積多様体として見たらうまく行きそうな気がしただけで、次元についてはうまく言えなかった。
たぶん次のゼミでこれが発表されるから、その前に証明をつけたいんだけどなぁ。