全射

書き忘れ。
射影空間はアフィンのコンパクト化だ、的なことが書いてあって、射影空間がコンパクトであること確かめてないよなぁと思ったのだけれど、射影空間のコンパクト性の証明が何をしていいのかすら分からなくて、多様体の復習がかなり必要だと感じられる。
というか、代数幾何勉強してるけど、扱ってる対象は代数多様体だし、だいたい典型的なのは複素多様体だったりするのだから、多様体論もしっかり理解しておくべきなんだ。
代数幾何的、位相幾何的、微分幾何的、複素幾何的なアプローチ（正直どれが何をさしてるかなんて正確には把握していないけれど）全部で一つの対象を考えるべきで、代数だけやってりゃ良いって話じゃない。
その辺りの重要さもなんとなく理解できるようになってきたし、学部の数学は専門関係なく全て理解しておくべき、という言葉の正しさも分かってきた気がする。
やっとかよ。

で、タイトルに戻る。
射影空間のコンパクト性は、結局コンパクト集合からの全射があることから従うのだけれど、これって多様体の既約性と似ているなと。
多様体の既約性も、既約な多様体からの全射（dominant map）があれば既約性が従う。
どちらも全射であることが重要な気がして、今まで単射の重要性はなんとなく知っている気がしていたけど、今日初めて全射の重要性が分かった気がした。
全単射なら同じなのだから、全射も重要なのは明らかだけれど、骨だけじゃなく、肉の付いた理解ができた気がする。
そして気になるのは、こういう全射で伝えられる性質って他にないのかなって。
単射は局所的な性質、全射は全体的（大域的？）な性質に関係がありそうな気がする。定義の違いからそんな風に思う。
これを念頭に置いておけば、また見つけることはできるだろうか。
圏論的には全射と単射って双対的だったと思うんだけど、あれではあんまり局所的・全体的と分かれそうな気がしないから、これは勘違いなのかもしれないし、逆に局所と大域が双対的であるということになるのかもしれない。
よくわかんないな。